We now turn to the methods that are used to link observed point patterns back to the process that generated the pattern.
More specifically, the challenge that we face is as follows. Given an observed point pattern, we wish to make inferences about the process that generated the observed pattern.
The general approach that is used is to construct measures that characterise the observed point pattern, and then compare these against the proporties of the theoretical process models we explored previously.
For example, if we assume that the underlying process is CSR, we know what kinds of properties the empirical patterns from such a process should exhibit. The critical thing to keep in mind is that we never actually see the underlying process - we only see outcomes of the process (i.e., the pattern).
This raises a number of challenges that we will need to address later on, but for now we are going to build up an inituition of the general strategy for analyzing point patterns.
To begin we are going to create two different point patterns, one from a CSR process and one from a clustered process. We will use these two patterns to introduce the different statistical methods used to analyze the patterns. Here we are in the rare circumstance in which we actually know what process generated the pattern.
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
np.random.seed(12345)
n = 60
xy = np.random.rand(60,2)
df = pd.DataFrame(data=xy, columns=['x', 'y'])
sns.scatterplot(x='x', y='y', data=df);
import pointpats as ppcsr = pp.PointPattern(xy)csr.summary()Point Pattern
60 points
Bounding rectangle [(0.00838829794155349,0.024676210429265266), (0.9940145858999619,0.9613067360728214)]
Area of window: 0.9231676681785911
Intensity estimate for window: 64.99361066054225
x y
0 0.929616 0.316376
1 0.183919 0.204560
2 0.567725 0.595545
3 0.964515 0.653177
4 0.748907 0.653570w = pp.Window([(0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0,0)])
draw = pp.PoissonClusterPointProcess(w, n, 2, 0.05, 1, asPP=True, conditioning=False)
draw.realizations[0].plot(window=True, title='Contagion Point Process (2 parents)')
clustered = draw.realizations[0]clustered.summary()Point Pattern
60 points
Bounding rectangle [(0.47331760265312733,0.023178703349462502), (0.9696584457277277,0.6150208352748628)]
Area of window: 1.0
Intensity estimate for window: 60.0
x y
0 0.513060 0.541971
1 0.473318 0.578385
2 0.508373 0.536200
3 0.881716 0.060328
4 0.894221 0.059273import pointpats.quadrat_statistics as qscsr_qr = qs.QStatistic(csr, shape='rectangle', nx=3, ny=3)
csr_qr.plot()
csr_qr.chi2np.float64(10.8)csr_qr.chi2_pvaluenp.float64(0.21329101843394052)clustered_qr = qs.QStatistic(clustered, shape='rectangle', nx=3, ny=3)
clustered_qr.plot()
clustered_qr.chi2np.float64(209.99999999999994)clustered_qr.chi2_pvaluenp.float64(4.976940117448032e-41)csr_qr_hex = qs.QStatistic(csr, shape='hexagon', lh=0.2)csr_qr_hex.plot()
csr_qr_hex.chi2np.float64(20.733333333333334)csr_qr_hex.df13csr_qr_hex.chi2_pvaluenp.float64(0.07837318677184964)clustered_qr_hex = qs.QStatistic(clustered, shape='hexagon', lh=0.2)clustered_qr_hex.plot()
clustered_qr_hex.chi2_pvaluenp.float64(2.005280432194402e-14)from pointpats import PoissonPointProcess as poissonppclustered_sim = poissonpp(clustered.window, clustered.n, 999, asPP=True)clustered_sim_hex = qs.QStatistic(clustered, shape='hexagon',
lh=0.2,
realizations=clustered_sim)clustered_sim_hex.chi2_r_pvaluenp.float64(0.001)clustered_sim_hex.chi2_realizationsarray([26.8 , 18.86666667, 20.26666667, 19.8 , 15.6 ,
30.53333333, 15.6 , 28.2 , 23.53333333, 17. ,
35.66666667, 11.4 , 19.33333333, 21.66666667, 18.4 ,
15.6 , 17.46666667, 24.93333333, 17. , 20.73333333,
19.33333333, 15.6 , 38. , 38. , 16.06666667,
24.46666667, 21.2 , 21.2 , 7.66666667, 18.86666667,
17.46666667, 24.93333333, 15.6 , 25.4 , 14.66666667,
26.8 , 21.2 , 18.86666667, 14.66666667, 24. ,
11.86666667, 10. , 17. , 17. , 9.06666667,
31.93333333, 24.93333333, 31. , 21.2 , 17.93333333,
11.4 , 17. , 21.2 , 11.86666667, 21.2 ,
19.33333333, 19.8 , 17. , 38. , 31. ,
34.73333333, 16.53333333, 33.8 , 17.93333333, 18.86666667,
10. , 9.53333333, 15.6 , 25.4 , 14.66666667,
24.46666667, 24.93333333, 18.4 , 14.2 , 24. ,
21.2 , 23.06666667, 21.2 , 19.33333333, 37.06666667,
15.6 , 29.6 , 31. , 20.26666667, 23.06666667,
20.73333333, 32.86666667, 19.33333333, 22.6 , 15.6 ,
13.26666667, 46.4 , 15.6 , 20.26666667, 33.33333333,
11.4 , 17. , 26.33333333, 17.93333333, 22.13333333,
17. , 33.33333333, 24.93333333, 12.33333333, 28.66666667,
42.2 , 17. , 22.6 , 16.53333333, 22.6 ,
12.33333333, 15.6 , 18.4 , 17. , 17.46666667,
30.06666667, 26.8 , 17. , 24.46666667, 21.66666667,
21.66666667, 20.26666667, 17.93333333, 18.4 , 28.2 ,
29.13333333, 14.2 , 26.33333333, 9.06666667, 20.26666667,
21.66666667, 27.26666667, 22.6 , 22.13333333, 21.66666667,
21.2 , 10.93333333, 21.66666667, 22.13333333, 33.33333333,
11.4 , 15.13333333, 22.6 , 17.93333333, 18.86666667,
22.13333333, 17. , 10.93333333, 16.53333333, 14.2 ,
19.33333333, 14.66666667, 16.53333333, 16.06666667, 15.13333333,
36.6 , 10. , 14.66666667, 17.46666667, 12.33333333,
45. , 26.33333333, 16.06666667, 21.2 , 32.4 ,
22.13333333, 23.53333333, 37.06666667, 22.13333333, 28.2 ,
27.73333333, 12.8 , 20.73333333, 18.4 , 16.06666667,
24.93333333, 11.4 , 20.73333333, 21.2 , 17. ,
24. , 13.73333333, 37.53333333, 18.86666667, 15.13333333,
15.13333333, 27.73333333, 16.06666667, 32.4 , 20.73333333,
33.8 , 24.46666667, 10.46666667, 27.73333333, 18.86666667,
15.13333333, 21.2 , 25.86666667, 15.6 , 25.4 ,
11.4 , 21.2 , 27.73333333, 20.73333333, 23.53333333,
30.06666667, 17. , 17.46666667, 19.8 , 19.33333333,
22.6 , 13.26666667, 32.4 , 29.6 , 37.53333333,
21.2 , 20.26666667, 17. , 23.06666667, 26.33333333,
26.33333333, 17. , 39.86666667, 16.06666667, 24.93333333,
20.26666667, 13.26666667, 20.73333333, 28.66666667, 23.53333333,
19.33333333, 19.8 , 48.26666667, 19.8 , 16.06666667,
26.33333333, 20.26666667, 10.46666667, 15.13333333, 16.06666667,
23.53333333, 26.33333333, 15.6 , 23.53333333, 19.33333333,
6.26666667, 27.26666667, 27.73333333, 17. , 32.4 ,
22.6 , 13.73333333, 28.66666667, 20.73333333, 17.46666667,
20.73333333, 31. , 22.6 , 19.33333333, 23.53333333,
24. , 18.4 , 16.06666667, 21.66666667, 23.53333333,
12.8 , 31. , 14.2 , 16.53333333, 8.6 ,
14.66666667, 27.26666667, 17.46666667, 20.73333333, 31.93333333,
28.2 , 24. , 27.73333333, 24.46666667, 30.53333333,
17.46666667, 15.13333333, 26.8 , 36.6 , 29.6 ,
32.86666667, 11.86666667, 15.13333333, 14.2 , 19.8 ,
24.46666667, 31.93333333, 35.66666667, 18.86666667, 13.73333333,
14.66666667, 14.2 , 23.06666667, 21.2 , 16.53333333,
31.93333333, 18.4 , 10.93333333, 25.4 , 21.66666667,
21.66666667, 20.73333333, 29.6 , 26.33333333, 33.33333333,
18.86666667, 13.73333333, 23.06666667, 20.26666667, 14.2 ,
27.73333333, 36.6 , 16.06666667, 18.86666667, 14.2 ,
25.4 , 27.26666667, 21.2 , 18.86666667, 24. ,
28.66666667, 30.06666667, 19.8 , 24. , 17.46666667,
24. , 14.2 , 18.86666667, 24. , 22.13333333,
23.53333333, 30.53333333, 37.06666667, 22.6 , 21.66666667,
23.53333333, 19.8 , 20.73333333, 19.8 , 21.2 ,
25.86666667, 27.73333333, 14.2 , 30.06666667, 17. ,
17. , 23.06666667, 30.06666667, 29.6 , 10.93333333,
35.2 , 30.53333333, 17. , 17.46666667, 41.26666667,
21.66666667, 15.13333333, 24.46666667, 28.2 , 31. ,
17.46666667, 29.13333333, 19.8 , 17.93333333, 15.13333333,
17.46666667, 25.4 , 17.93333333, 30.06666667, 16.06666667,
27.73333333, 14.2 , 15.13333333, 20.26666667, 36.13333333,
24.46666667, 25.4 , 25.4 , 36.13333333, 15.6 ,
20.73333333, 23.53333333, 14.2 , 25.86666667, 18.86666667,
25.4 , 18.4 , 23.53333333, 14.66666667, 17. ,
22.13333333, 23.53333333, 18.4 , 20.26666667, 28.2 ,
20.26666667, 40.33333333, 28.2 , 37.06666667, 17.46666667,
31. , 20.26666667, 26.8 , 35.2 , 14.66666667,
23.06666667, 23.06666667, 13.73333333, 35.2 , 23.53333333,
31. , 31.93333333, 17.46666667, 38. , 16.53333333,
31.46666667, 34.26666667, 22.13333333, 22.6 , 20.73333333,
16.53333333, 17.93333333, 29.6 , 10.46666667, 27.26666667,
18.86666667, 22.6 , 36.6 , 25.4 , 15.6 ,
15.13333333, 18.86666667, 19.8 , 29.6 , 22.6 ,
13.73333333, 46.86666667, 35.2 , 14.2 , 25.4 ,
41.73333333, 25.4 , 13.73333333, 23.53333333, 26.8 ,
25.4 , 16.06666667, 21.66666667, 37.53333333, 30.06666667,
7.2 , 15.6 , 31.46666667, 17. , 35.66666667,
23.53333333, 19.33333333, 17.46666667, 24.93333333, 19.8 ,
13.26666667, 25.4 , 17.46666667, 24.46666667, 20.73333333,
33.33333333, 20.26666667, 26.33333333, 16.06666667, 21.2 ,
21.2 , 56.2 , 27.26666667, 26.8 , 21.66666667,
22.13333333, 7.66666667, 22.6 , 8.6 , 17.93333333,
25.86666667, 30.53333333, 28.66666667, 24.93333333, 13.73333333,
9.53333333, 21.2 , 17.93333333, 32.4 , 24. ,
24.46666667, 34.73333333, 31.46666667, 23.06666667, 17.93333333,
30.53333333, 15.13333333, 22.13333333, 19.8 , 17. ,
25.4 , 18.86666667, 26.33333333, 19.33333333, 32.4 ,
9.53333333, 21.66666667, 11.86666667, 31.46666667, 30.06666667,
24.93333333, 24.46666667, 17.46666667, 21.66666667, 19.33333333,
23.06666667, 23.53333333, 23.53333333, 33.33333333, 22.6 ,
18.4 , 24. , 23.53333333, 16.53333333, 19.8 ,
17. , 24.93333333, 10.93333333, 30.53333333, 13.73333333,
16.06666667, 19.33333333, 17.93333333, 26.8 , 21.2 ,
19.8 , 40.33333333, 18.86666667, 10.46666667, 23.53333333,
16.53333333, 24. , 21.2 , 19.33333333, 31.46666667,
12.33333333, 10.93333333, 16.53333333, 25.4 , 33.33333333,
33.33333333, 20.73333333, 12.8 , 20.26666667, 34.26666667,
33.33333333, 29.13333333, 18.4 , 16.53333333, 20.73333333,
22.13333333, 22.6 , 22.6 , 17.93333333, 10. ,
14.66666667, 14.66666667, 16.06666667, 16.53333333, 21.2 ,
10.93333333, 17.46666667, 31.46666667, 14.2 , 18.86666667,
24. , 10.46666667, 30.06666667, 25.4 , 25.4 ,
15.13333333, 24.93333333, 22.6 , 17.93333333, 12.8 ,
20.73333333, 10.46666667, 12.8 , 32.86666667, 23.53333333,
21.2 , 23.06666667, 17. , 13.73333333, 16.53333333,
24.46666667, 14.2 , 38.46666667, 26.33333333, 15.6 ,
20.26666667, 31.93333333, 21.66666667, 18.86666667, 15.13333333,
20.26666667, 31.46666667, 25.4 , 17. , 26.8 ,
24.46666667, 14.2 , 42.2 , 22.6 , 17.46666667,
20.26666667, 35.66666667, 26.8 , 24.93333333, 31.46666667,
16.53333333, 24. , 23.06666667, 17.93333333, 31.46666667,
30.06666667, 20.26666667, 11.2 , 23.06666667, 38.93333333,
13.73333333, 17.93333333, 24. , 25.4 , 25.86666667,
24. , 18.86666667, 22.13333333, 21.2 , 11.86666667,
18.86666667, 14.2 , 22.6 , 32.4 , 18.4 ,
24.93333333, 18.86666667, 24.93333333, 10.46666667, 24.93333333,
23.06666667, 15.6 , 21.66666667, 23.53333333, 20.73333333,
24.93333333, 25.86666667, 12.8 , 20.73333333, 25.4 ,
19.8 , 34.73333333, 30.53333333, 33.8 , 17. ,
25.4 , 28.66666667, 18.4 , 30.06666667, 19.8 ,
52.93333333, 19.33333333, 25.86666667, 19.33333333, 10.93333333,
18.4 , 28.66666667, 7.66666667, 20.73333333, 43.13333333,
22.6 , 24.46666667, 23.53333333, 25.4 , 12.33333333,
26.8 , 22.6 , 22.13333333, 26.33333333, 31. ,
29.13333333, 18.86666667, 20.26666667, 22.13333333, 16.53333333,
22.6 , 12.8 , 37.06666667, 23.06666667, 31.93333333,
10. , 16.53333333, 14.2 , 26.8 , 18.4 ,
16.06666667, 22.6 , 13.26666667, 19.33333333, 21.66666667,
15.6 , 16.06666667, 19.8 , 26.33333333, 21.66666667,
25.86666667, 23.06666667, 16.53333333, 8.6 , 14.66666667,
23.06666667, 15.13333333, 15.6 , 14.66666667, 29.6 ,
13.73333333, 19.8 , 17. , 19.8 , 39.86666667,
31. , 12.8 , 24.93333333, 31. , 23.06666667,
21.66666667, 21.66666667, 17.46666667, 20.73333333, 19.8 ,
25.4 , 21.2 , 19.8 , 11.86666667, 31. ,
19.8 , 19.33333333, 13.26666667, 33.8 , 18.86666667,
46.4 , 24. , 16.53333333, 16.53333333, 31.46666667,
23.53333333, 26.33333333, 25.86666667, 31.93333333, 21.2 ,
21.66666667, 20.73333333, 29.6 , 24. , 38.46666667,
7.66666667, 17. , 13.73333333, 6.26666667, 20.26666667,
36.13333333, 21.66666667, 23.53333333, 25.86666667, 18.4 ,
14.2 , 15.6 , 20.73333333, 34.73333333, 26.8 ,
21.66666667, 24.93333333, 29.13333333, 31.93333333, 25.86666667,
14.2 , 12.33333333, 17.46666667, 24. , 17. ,
27.26666667, 17.46666667, 17. , 34.26666667, 12.8 ,
29.6 , 24.93333333, 15.13333333, 13.73333333, 34.26666667,
18.86666667, 30.06666667, 19.8 , 37.53333333, 26.8 ,
19.33333333, 17.93333333, 22.6 , 16.53333333, 12.33333333,
20.73333333, 17.46666667, 32.4 , 10.46666667, 33.8 ,
21.66666667, 18.86666667, 26.8 , 32.86666667, 41.26666667,
27.73333333, 16.06666667, 24.46666667, 15.6 , 19.33333333,
23.53333333, 19.33333333, 12.8 , 21.66666667, 12.8 ,
24.46666667, 36.13333333, 17. , 18.86666667, 16.06666667,
17.93333333, 33.33333333, 10.93333333, 14.66666667, 11.4 ,
18.4 , 31.46666667, 24.46666667, 20.73333333, 40.8 ,
16.06666667, 20.73333333, 15.6 , 26.8 , 14.66666667,
31.46666667, 20.26666667, 24.46666667, 11.86666667, 17.46666667,
24.93333333, 6.73333333, 17.93333333, 24.46666667, 18.4 ,
14.2 , 26.8 , 24. , 40.33333333, 16.53333333,
47.33333333, 23.53333333, 20.73333333, 14.2 , 23.53333333,
18.86666667, 13.73333333, 31. , 21.66666667, 22.6 ,
11.4 , 24.46666667, 32.86666667, 43.13333333, 22.6 ,
19.8 , 36.6 , 28.2 , 23.06666667, 29.13333333,
15.13333333, 17. , 28.2 , 34.26666667, 25.86666667,
13.26666667, 32.4 , 8.6 , 29.13333333, 26.33333333,
28.66666667, 15.6 , 19.8 , 17. , 12.8 ,
23.06666667, 16.06666667, 30.06666667, 20.26666667, 19.8 ,
22.6 , 21.66666667, 25.86666667, 36.6 , 15.6 ,
24.46666667, 15.13333333, 19.33333333, 10.46666667, 26.33333333,
18.86666667, 23.06666667, 24.46666667, 22.13333333, 29.6 ,
17.46666667, 23.06666667, 16. , 23.06666667, 28.66666667,
20.26666667, 17.93333333, 17. , 26.33333333, 21.66666667,
13.73333333, 17.93333333, 16.06666667, 21.66666667, 26.8 ,
18.86666667, 24.93333333, 21.66666667, 34.26666667, 23.06666667,
23.06666667, 12.8 , 15.6 , 13.73333333, 35.2 ,
26.8 , 25.4 , 19.33333333, 25.4 , 22.6 ,
18.86666667, 23.06666667, 29.6 , 13.73333333, 13.26666667,
30.06666667, 31.93333333, 12.8 , 33.8 , 11.4 ,
15.13333333, 15.6 , 36.13333333, 16.06666667, 13.73333333,
42.2 , 14.2 , 30.06666667, 24.46666667, 45.93333333,
29.6 , 17.93333333, 29.13333333, 29.6 , 38.46666667,
17.93333333, 19.33333333, 12.8 , 22.13333333, 17.93333333,
19.33333333, 14.2 , 24.46666667, 14.66666667, 21.2 ,
29.6 , 18.4 , 20.73333333, 20.26666667, 22.6 ,
17. , 33.33333333, 29.6 , 31.46666667])import libpysal
from libpysal.cg import shapely_ext
import geopandas
import numpy as npfrom pointpats import Windowva = libpysal.io.open(libpysal.examples.get_path("vautm17n.shp"))polys = [shp for shp in va]
state = shapely_ext.cascaded_union(polys)window = Window(state.parts)np.random.seed(5)samples = poissonpp(window, 200, 1, conditioning=False, asPP=False)samples.realizations[0]array([[ 414659.62831296, 4098843.62306827],
[ 944877.32665295, 4064524.51881247],
[ 624464.14012849, 4135522.50140932],
[ 716322.44071544, 4158399.44765818],
[ 831143.93926953, 4237580.13537067],
[ 400509.95328193, 4096900.41002516],
[ 810686.07255281, 4283013.52195582],
[ 589382.5482221 , 4207114.63468694],
[ 464834.86653763, 4099680.23066161],
[ 729016.86342122, 4295967.88710233],
[ 692558.78034025, 4104007.16031022],
[ 707522.86530594, 4083889.38215422],
[ 368068.7091872 , 4091422.04350303],
[ 781939.22465452, 4097373.59625561],
[ 690938.87384332, 4295945.27613892],
[ 737215.08721821, 4168650.77104844],
[ 610370.4068341 , 4121670.2849925 ],
[ 557829.48604931, 4085935.58930553],
[ 866763.76550655, 4111032.57384731],
[ 834827.89687458, 4166256.04344958],
[ 621872.14784085, 4116134.29168132],
[ 731234.98798312, 4131270.48035054],
[ 682313.43606906, 4223967.01711812],
[ 733908.93745755, 4275494.4664081 ],
[ 529604.21979282, 4140192.20505708],
[ 667623.24339624, 4231046.01435233],
[ 852876.94714772, 4144452.31221088],
[ 736531.73670527, 4298186.25041488],
[ 628191.02243473, 4102712.26100424],
[ 695286.19214258, 4089811.49187367],
[ 335791.24699685, 4071456.16300708],
[ 976525.54090453, 4190170.9356442 ],
[ 269907.7423385 , 4053819.55125621],
[ 901005.55219154, 4135790.38279535],
[ 343450.39084153, 4069350.54999132],
[ 616962.39647439, 4060407.85366255],
[ 856890.64094909, 4088171.88687401],
[ 784246.96302866, 4158561.00287435],
[ 506667.94859104, 4057344.67213736],
[ 652994.7682644 , 4222285.369847 ],
[ 752892.56374042, 4051208.83003112],
[ 925790.59890195, 4067279.1569195 ],
[ 979545.31057954, 4216138.61394589],
[ 834141.62958798, 4078931.40609538],
[ 826072.78416898, 4141338.71410948],
[ 789540.24165872, 4134439.70394346],
[ 832204.18186126, 4197953.71447929],
[ 425655.57604877, 4089467.13633862],
[ 864217.85281509, 4188693.47802216],
[ 862328.44401525, 4076592.74052587],
[ 867441.18732928, 4116652.71820767],
[ 699661.2534777 , 4307801.55307259],
[ 751829.65031639, 4319968.92400562],
[ 693363.69978698, 4164890.1129782 ],
[ 746506.9340749 , 4128752.07645258],
[ 732083.67983923, 4248326.90577783],
[ 653338.32075661, 4156598.67265619],
[ 976606.02276802, 4197597.40929845],
[ 848350.52448247, 4064866.02614159],
[ 630634.31029898, 4214285.994748 ],
[ 710542.99205501, 4142311.94640686],
[ 818235.01391031, 4101202.27810456],
[ 823663.1391133 , 4155899.63963564],
[ 664444.47776103, 4236228.98363075],
[ 360769.23263894, 4085354.33832084],
[ 766550.94064044, 4292018.87615081],
[ 708574.49400057, 4316489.95362822],
[ 678464.74663622, 4157026.01869247],
[ 669386.8193962 , 4168943.73102981],
[ 739117.58013062, 4238904.58741115],
[ 802008.45139164, 4058821.42801494],
[ 719353.5399807 , 4310434.15086711],
[ 699010.43647616, 4235885.22615002],
[ 711302.81748723, 4189425.14715171],
[ 711004.15283455, 4307013.13265628],
[ 443641.20854179, 4112502.92242971],
[ 549017.70273327, 4122109.33477415],
[ 633880.98332554, 4180721.53522785],
[ 761505.3618409 , 4337608.44051833],
[ 628113.51741034, 4248999.17523924],
[ 612085.42234894, 4193531.31241006],
[ 773003.9526705 , 4191729.03945972],
[ 869260.59923287, 4095817.64598321],
[ 429695.78427436, 4083168.63837101],
[ 411407.60297276, 4095291.64838574],
[ 774204.90698235, 4114220.83806725],
[ 592778.43642512, 4048923.19755613],
[ 384376.48425827, 4088331.25454645],
[ 947440.38984378, 4151004.37886308],
[ 767483.69263252, 4178399.29510034],
[ 690935.63144369, 4235036.15530389],
[ 576980.01519074, 4070580.86201211],
[ 712493.43738419, 4089094.16426798],
[ 519079.03725716, 4062389.09073365],
[ 594894.13977775, 4126627.3577412 ],
[ 802962.14790058, 4255158.21686279],
[ 641802.18696761, 4198983.48922481],
[ 726954.63054571, 4344401.63706861],
[ 821460.13878318, 4132750.73296464],
[ 837220.98889414, 4222136.55345996],
[ 563543.98825404, 4153613.9629347 ],
[ 814038.74000601, 4093096.42208192],
[ 697273.58284353, 4163467.0010079 ],
[ 629072.6884094 , 4213295.94973238],
[ 819817.84709794, 4102394.60580934],
[ 526160.27728639, 4104037.23601285],
[ 836763.95559331, 4129516.28447547],
[ 736374.59850277, 4352644.80670343],
[ 841168.99204432, 4138747.2216095 ],
[ 751403.55221945, 4199922.61169574],
[ 557689.70136621, 4058695.77127365],
[ 878737.13093459, 4069134.69802166],
[ 645585.19035458, 4215659.45070671],
[ 848301.94947934, 4240704.72062012],
[ 811185.54323789, 4246760.16720487],
[ 802385.39914521, 4152499.83940512],
[ 967083.70536616, 4187628.68689018],
[ 566173.41485163, 4171863.51737594],
[ 695607.47904146, 4288180.87390924],
[ 677616.25847172, 4050830.91542181],
[ 861869.68527996, 4210372.43779312],
[ 654780.64776662, 4111656.98283347],
[ 585233.58031201, 4074992.10261737],
[ 781434.81304468, 4058413.05158421],
[ 822682.84769376, 4213417.77129642],
[ 768900.63289125, 4088226.44858065],
[ 791899.72825801, 4245563.76587488],
[ 831576.99118498, 4312162.65433444],
[ 878388.72674408, 4062578.7934681 ],
[ 823191.58958438, 4196021.45946538],
[ 378156.77607172, 4068466.52709272],
[ 862070.43546301, 4193252.59919724],
[ 817515.77267352, 4251166.78629974],
[ 690730.22340288, 4134039.36745731],
[ 582428.37056692, 4142295.17500245],
[ 701803.27707921, 4257761.15121192],
[ 794450.97333767, 4082458.53574423],
[ 683956.9175291 , 4263206.01583531],
[ 810304.08829204, 4189035.31606198],
[ 626831.94796862, 4183736.79813135],
[ 447925.51227984, 4053619.31963374],
[ 720176.25306412, 4080228.49511975],
[ 671706.30020031, 4057219.61544144],
[ 737091.10397116, 4186517.38432557],
[ 621943.7767598 , 4230899.1177717 ],
[ 781727.00521532, 4188771.47311895],
[ 533270.55041969, 4101228.87129633],
[ 422275.11061901, 4061412.90318906],
[ 623274.94414034, 4137159.04830485],
[ 613396.83788472, 4098031.58804004],
[ 918485.80482483, 4066117.04895843],
[ 835277.63162857, 4216987.74937433],
[ 840905.06186863, 4119589.82676569],
[ 776734.80434232, 4130379.65381659],
[ 822926.36295514, 4212704.28173775],
[ 577183.29908505, 4173970.73377266],
[ 844670.36825708, 4169964.16925377],
[ 726945.33864164, 4247843.41173161],
[ 522700.79684074, 4133457.24989219],
[ 781400.95255701, 4075836.20334854],
[ 807851.53178381, 4155393.2584169 ],
[ 528527.53915051, 4128711.54607999],
[ 733715.04344501, 4324209.51951477],
[ 761959.58353421, 4278337.10568371],
[ 462416.02583551, 4055426.72279291],
[ 783784.3588985 , 4219065.00137999],
[ 656981.17357128, 4081038.36317257],
[ 752519.5579292 , 4122287.87050136],
[ 785998.97275375, 4180386.72063339],
[ 515218.38308205, 4058619.31300199],
[ 665460.74168329, 4220305.65172169],
[ 635096.17082896, 4088479.03653079],
[ 525676.09274115, 4094679.99674041],
[ 652994.1969737 , 4196544.93157394],
[ 684221.48776759, 4279076.50535586],
[ 841203.32727666, 4091321.7151704 ],
[ 658966.29762168, 4152432.0546778 ],
[ 746057.91004075, 4159150.20681748],
[ 713023.65348106, 4313845.48665105],
[ 389367.77238998, 4131872.44048721],
[ 964384.90536381, 4177830.49754845],
[ 861956.74790132, 4163047.64826283],
[ 652335.83396067, 4066521.74757694],
[ 970927.39251655, 4191911.74445852],
[ 723112.44351288, 4066723.92870727],
[ 617299.64641549, 4215686.04441991],
[ 733460.51785091, 4209610.5745427 ],
[ 774366.73041553, 4083740.25237318],
[ 773520.40251126, 4336421.17625672],
[ 410898.72636993, 4079437.47953348],
[ 673646.58115341, 4145523.97371361],
[ 817877.62652755, 4319656.3622249 ],
[ 592810.59894755, 4136791.36885295],
[ 552979.14353052, 4059233.18378104],
[ 812842.56890396, 4121182.53606018],
[ 767558.36215433, 4227759.98274924],
[ 844106.62271791, 4069246.81629651],
[ 801080.39465864, 4189486.98256327],
[ 781265.07995516, 4324246.416531 ],
[ 628867.42811353, 4070282.90463193]])from pointpats import PointPattern
pp_csr = PointPattern(samples.realizations[0])pp_csr.plot()
pp_csr.plot(window=True, hull=True, title='Random Point Pattern')
csr_qr = qs.QStatistic(pp_csr, shape='rectangle', nx=3, ny=3)
csr_qr.plot()
csr_qr.chi2_pvaluenp.float64(7.295335713511762e-19)The low p-value is an artifact of the shape of the window, since we will never see points in the top two cells in the first column. We did infact generate a CSR sample, so our test is incorrect here because of the shape of the window.
To correct for this, we can simulate other CSR samples in the same window and compare the value of our original statistic to this distribution to develop an alternative approach to inference.
np.random.seed(12345)
csr_samples = poissonpp(window, 200, 99, conditioning=False, asPP=True)csr_samples.realizations[0]<pointpats.pointpattern.PointPattern at 0x7c6cc3943220>stats = []
for key in csr_samples.realizations:
realization = csr_samples.realizations[key]
test = qs.QStatistic(realization, shape='rectangle', nx=3, ny=3)
stats.append(test.chi2)stats = np.array(stats)
num = 1 + (stats >= csr_qr.chi2).sum()
den = 99 +1
p_value = num / den
p_valuenp.float64(0.31)import seaborn as snsax =sns.distplot(stats)
ax.axvline(x = csr_qr.chi2, ymin=0, ymax=.25, color='r')
csr_qr.chi2np.float64(103.75000000000001)